Un paradoxe infiniment paradoxal ...
catégorie : création littéraire
On doit à Blaise Pascal la notion de partage équitable des mises d’un jeu interrompu avant son terme. Il s’agissait, si je me souviens bien, d’une partie de tric trac qui dut être interrompu pour des raisons que j’ignore encore … Dans le langage contemporain, on parle d’espérance mathématique. Cette espérance mathématique représente ce qui se passerait si on pouvait répéter un nombre infini de fois le jeu. Fort opportunément, l’homo sapiens sapiens supérieur sait, grâce à sa formidable capacité d’abstraction, déterminer habillement et en un tour de main ce résultat, en concevant cet infini dénombrable en une fraction de seconde (oui, je sais, pour certains, comme moi, ça met un peu plus de temps).
Ainsi, un jeu est équitable si l’espérance mathématique de ses gains est égale à la valeur de la mise. Par exemple, la roulette du casino est inéquitable, car il y a 37 numéros, de 0 à 36, et qu’un pari plein (sur un seul numéro) permet de gagner 35 fois sa mise, alors que le numéro a 1 chance sur 37 de sortir. C’est cette légère asymétrie qui fait la fortune des casinos. La version américaine est pire car il y a le 00 sur lequel on ne peut parier et qui est toujours pour la banque. Donc on gagne 35 fois une mise sur un numéro qui a une chance sur 38 de sortir.Les faux frais sont plus élevés aux USA qu’en Europe, c’est bien connu.
Autre exemple de jeu inéquitable, mais qui fait tant rêver : le Loto. Il est inéquitable car si vous avez les moyens de jouer les 13.983.816 grilles possibles, vous ne récupèrerez que 65 % de votre mise, l’Etat en ponctionnant 35 %. C’est ce qui fait dire que le Loto est le plus gros impôt librement consenti. L’attrait de ce jeu est le rêve qu’il suscite : parier 1 euro pour espérer en gagner 1 million de plus, là encore, c’est de l’ordre du pari pascalien sur le vie éternelle.
Le plus redoutable est que dans ce jeu, il y a aussi des « perdants » parmi les gagnants. C’est un peu comme la notion de minimax en mathématique. En effet, supposons que votre grille sorte. Vous êtes l’heureux gagnant de 8.500.000 euros à diviser entre 10 gagnants (et oui, le numéro « 13 » était de sortie ce jour-là). Pas de chance : le dernier tirage avait attribué 12,5 millions d‘euros à son unique gagnant, et le tirage suivant a « payé » 8,3 millions d’euros pour chacun des 3 gagnants ! Pas de bol, non ? …
Je ne parlerai pas non plus de l’inéquité fondamentale du poker flop : c’est un jeu où le sens tactique et l’instinct sont beaucoup plus forts que la simple combinatoire des possibles. Quant au poker streap, les filles ont toujours un vêtement de plus que nous ! …
En cherchant un peu, j’ai fini par trouver un jeu fort intéressant et qui devrait vous permettre de vous enrichir à l’envi.
Dans deux coffres distincts, fermés et solidement arrimer au sol se trouvent deux sommes en espèces sonnantes et trébuchantes : l’un contient le montant X, l’autre le montant 2X. Bien entendu, on ne sait quel est le bon coffre qui contient la somme la plus élevée. Vous avez le droit de choisir n’importe quelle combinaison, à la fin, vous n’ouvrez qu’un seul coffre et êtes propriétaire de son contenu.
A priori, ce jeu vaut : (X + 2X)/2 = 3X/2 – mise du jeu. Il est équitable si la mise est égale à 3X/2.
En réalité, la mise est trop faible.
En effet, supposons que vous avez choisi dans votre tête un coffre. Au dernier moment, vous ouvrez l’autre ! Comment évolue l’espérance mathématique de ce jeu ?
Considérons le montant Y, résultat du premier choix. En changeant, on a donc le risque d’avoir la moitié de Y, avec 1 chance sur 2, ou bien le bonheur de toucher ledouble, avec 1 chance sur 2.
Donc l’espérance mathématique de Y est égale à Y/4 + Y=5Y/4.
Ramenée à X, l’espérance mathématique de la stratégie appliquée est égale à :
3*5X/(2*4) = 15X/8 (par la linéarité de l’opérateur espérance mathématique !).
Et l’on vérifie que 15/8 = 1,875 > 3/2 = 1,50.
Conclusion : avec cette stratégie, on peut demander une mise égale à 1,75X et démontrer au parieur que son espérance de gains est égale à la différence (1,85 – 1,75)X = 0,10X.
Et en vrai, c’est vous qui êtes assuré de gagner, en moyenne et à la longue, (1,75- ,150).X, soit 0,25X ! Pourquoi ?
Il y a tout simplement une erreur logique dans le raisonnement qui conduit à cette fausse espérance, et donc valeur du jeu … De l’art de faire prendre de vessies pour des lanternes …
Avez vous compris comment on vous enfumait ?
Ainsi, un jeu est équitable si l’espérance mathématique de ses gains est égale à la valeur de la mise. Par exemple, la roulette du casino est inéquitable, car il y a 37 numéros, de 0 à 36, et qu’un pari plein (sur un seul numéro) permet de gagner 35 fois sa mise, alors que le numéro a 1 chance sur 37 de sortir. C’est cette légère asymétrie qui fait la fortune des casinos. La version américaine est pire car il y a le 00 sur lequel on ne peut parier et qui est toujours pour la banque. Donc on gagne 35 fois une mise sur un numéro qui a une chance sur 38 de sortir.Les faux frais sont plus élevés aux USA qu’en Europe, c’est bien connu.
Autre exemple de jeu inéquitable, mais qui fait tant rêver : le Loto. Il est inéquitable car si vous avez les moyens de jouer les 13.983.816 grilles possibles, vous ne récupèrerez que 65 % de votre mise, l’Etat en ponctionnant 35 %. C’est ce qui fait dire que le Loto est le plus gros impôt librement consenti. L’attrait de ce jeu est le rêve qu’il suscite : parier 1 euro pour espérer en gagner 1 million de plus, là encore, c’est de l’ordre du pari pascalien sur le vie éternelle.
Le plus redoutable est que dans ce jeu, il y a aussi des « perdants » parmi les gagnants. C’est un peu comme la notion de minimax en mathématique. En effet, supposons que votre grille sorte. Vous êtes l’heureux gagnant de 8.500.000 euros à diviser entre 10 gagnants (et oui, le numéro « 13 » était de sortie ce jour-là). Pas de chance : le dernier tirage avait attribué 12,5 millions d‘euros à son unique gagnant, et le tirage suivant a « payé » 8,3 millions d’euros pour chacun des 3 gagnants ! Pas de bol, non ? …
Je ne parlerai pas non plus de l’inéquité fondamentale du poker flop : c’est un jeu où le sens tactique et l’instinct sont beaucoup plus forts que la simple combinatoire des possibles. Quant au poker streap, les filles ont toujours un vêtement de plus que nous ! …
En cherchant un peu, j’ai fini par trouver un jeu fort intéressant et qui devrait vous permettre de vous enrichir à l’envi.
Dans deux coffres distincts, fermés et solidement arrimer au sol se trouvent deux sommes en espèces sonnantes et trébuchantes : l’un contient le montant X, l’autre le montant 2X. Bien entendu, on ne sait quel est le bon coffre qui contient la somme la plus élevée. Vous avez le droit de choisir n’importe quelle combinaison, à la fin, vous n’ouvrez qu’un seul coffre et êtes propriétaire de son contenu.
A priori, ce jeu vaut : (X + 2X)/2 = 3X/2 – mise du jeu. Il est équitable si la mise est égale à 3X/2.
En réalité, la mise est trop faible.
En effet, supposons que vous avez choisi dans votre tête un coffre. Au dernier moment, vous ouvrez l’autre ! Comment évolue l’espérance mathématique de ce jeu ?
Considérons le montant Y, résultat du premier choix. En changeant, on a donc le risque d’avoir la moitié de Y, avec 1 chance sur 2, ou bien le bonheur de toucher ledouble, avec 1 chance sur 2.
Donc l’espérance mathématique de Y est égale à Y/4 + Y=5Y/4.
Ramenée à X, l’espérance mathématique de la stratégie appliquée est égale à :
3*5X/(2*4) = 15X/8 (par la linéarité de l’opérateur espérance mathématique !).
Et l’on vérifie que 15/8 = 1,875 > 3/2 = 1,50.
Conclusion : avec cette stratégie, on peut demander une mise égale à 1,75X et démontrer au parieur que son espérance de gains est égale à la différence (1,85 – 1,75)X = 0,10X.
Et en vrai, c’est vous qui êtes assuré de gagner, en moyenne et à la longue, (1,75- ,150).X, soit 0,25X ! Pourquoi ?
Il y a tout simplement une erreur logique dans le raisonnement qui conduit à cette fausse espérance, et donc valeur du jeu … De l’art de faire prendre de vessies pour des lanternes …
Avez vous compris comment on vous enfumait ?
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Voici les 8 dernières réactions à ce commentaire
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tu veux te faire embaucher par la française des jeux ?
plutôt une chance sur 38 ! 
bon, je finis de lire ton texte.
bon, je finis de lire ton texte.
15/12/07 à 13h48
Frederic 75
bouger ! ...
Vous êtes prof de math? en tout cas sans faire de savants calcul j'ai toujours considérer ces jeux comme un attrape couillon !!!!et pas dépenser un centime pour ça. Mauvais citoyen pour l'état....
Frederic 75
publié le 15 déc. 07